Enric.es - Enric Sanchez Cusell

AVÍS: El blog no s'actualitza des de 2008, jo, l'Enric, ara (2011) estic estudiant quart de Llicenciatura de Matemàtiques i Enginyeria Informàtica a la UPC de Barcelona i tinc 20 anys. Tant de bo alguna cosa del que hi hagi us sigui d'utilitat. Enric Cusell Sanchez

Blog personal de l’Enric Sánchez Cusell, i ara amb fotos
Les matemàtiques no mentixen, el que hi ha son molts matemàtics mentiders.
Henry David Thoreau

Igualtat d’Euler

Por Enric el 30 de December de 2007 en Uncategorized

Hi ha una igualtat molt coneguda, i probablement la més curta i bonica (hi surten quatre nombres molt coneguts: “e, pi, 1, 0, i”) i a la vegada complexe en el seu sentit matemàtic, de tots els temps és la igualtat d’Euler:

e^{i\pi}+1=0

A més, aprofitaré aquest post per utilitzar alguna de les coses que he après a l’hora d’escriure documents en \LaTeX durant alguns d’aquests dies de vacances. \LaTeX és un potent editor de textes, que normalment s’utilitza per escriure tesis o publicacions científiques d’alta qualitat, o per escriure fórmules.

A l’escola sempre diuen que l’arrel d’índex parell d’un nombre negatiu no existeix. Però el que realment volen dir és que no existeix en els nombres reals. Va home va, que hi ha nombres que no són reals? Sí! Els nombres complexos. La basede tot és:

\sqrt{-1} = i \in\mathbb{C}

Ara demostrarem (que vol dir: provar utilitzant el sistema formal i lògic de les matemàtiques) la igualtat d’Euler! Per entendre la demostració no faran falta coneixements gaire especials, excepte les igualtats que aniré marcant amb un nombre entre parèntesis.

Som-hi. Són conegudes les sèries infinites següents, que moltes vegades utilitzen els ordinadors o calculadores per calcular els sinus, o cosinus, sino, com li dius a una calculadora que faci aquestes operacions?:

(1) e^x = 1+x+\displaystyle\frac{x^2}{2!}+\displaystyle\frac{x^3}{3!}+\displaystyle\frac{x^4}{4!}+\displaystyle\frac{x^5}{5!}+

(2) cos x = 1-\displaystyle\frac{x^2}{2!}+\displaystyle\frac{x^4}{4!}-

(3) sin x = x-\displaystyle\frac{x^3}{3!}+\displaystyle\frac{x^5}{5!}-

Repte 1: 100 mate-punts per qui comprovi el sinus o cosinus per algun dels següents angles (30º,45º,60º,90º) amb el desenvolupament almenys fins a 4 exponents. Va, que és fàcil amb una calculadora a mà.

Si apliquem la sèrie (1) de e^x per a x=i (només substituïm), queda:

e^i = 1+i+\displaystyle\frac{i^2}{2!}+\displaystyle\frac{i^3}{3!}+\displaystyle\frac{i^4}{4!}+\displaystyle\frac{i^5}{5!}+

=1+i-\displaystyle\frac{1}{2!}-\displaystyle\frac{i}{3!}+\displaystyle\frac{1}{4!}+\displaystyle\frac{i}{5!}-

= ( 1-\displaystyle\frac{1}{2!}+\displaystyle\frac{1}{4!}-) + i (1-\displaystyle\frac{1}{3!}+\displaystyle\frac{1}{5!}-)

= cos 1 + i sin 1

De manera que podem expressar:

(4) e^{\alpha i}=cos\alpha+i sin\alpha

Que és la fórmula de Moivre.

Ara si sabem que \pi en radians representa 180º, podem substituir \alpha en la igualtat (4) i queda l’igualtat d’Euler:

e^{i\pi} = cos\pi + i sin\pi = -1 +i*0 = -1

e^{i\pi}=-1 \Longleftrightarrow e^{i\pi}+1=0

Q.E.D.

euler.JPG

Leonhard Euler

Informació extreta de Introduction to Geometry, de Coxeter. Autor d’algun bon llibre de geometria (que per cert m’haig de llegir a fons) per practicar per l’Olimpíada de Matemàtiques, un tipus de concurs sobre el qual algun dia parlaré detingudament.

Comentarios

  1. Noi, feia temps que no veia un rotllo tant espectacularment poc interessant com aquest en un blog. Impressionant. Felicitats

  2. Quan puguis fer poesia una dècima part de sublim i elegant que aquesta igualtat en parlem. Noia si no t’interessa, com a la major part de públic lector, i vols dir-ho, amb tacte.

  3. Enric.eeeeees! BOON ANYY 🙂

    Abans pensava en Escòcia… si un dia d’aquests et porto un CD em passaràs les fotos? 😛 jjajjajaja
    Ens veiem a la processó del rei blanc d’aquest dissabte??

    muaaaaaa(K)

  4. No he entrat al món d’en Javi Moya, però poc m’ha faltat… Estic molt liada amb el Treball de Recerca, deures, treballs, estudiar… I el poc temps lliure que tinc l’inverteixo en llegir, tocar i poca cosa més… Estic taaan desconectada!

    Ara aviat entregaré el treball i potser torno a la rutina de sempre, però fins llavors res de res! Ja te’n enviaré una còpia quan estigui acabat si vols!

    Apa, fins aviat!

  5. Cony, quina cosa més elegant! Jo reclamo una explicació de la sèrie de Taylor perquè la demostració que completa..(una demostració per inducció sobre el grau).
    A veure si li dones una mica de vidilla a tot plegat!
    Salut!
    a.

  6. […] Podéis ver información relacionada en un buen enlace que hemos encontrado. […]

  7. molt amè! ja coneixia taylor i la fórmula d’euler, però ningú me l’havia demostrada… amb lo senzilla que és!

Añade tu opinión

*

*