Hi ha una igualtat molt coneguda, i probablement la més curta i bonica (hi surten quatre nombres molt coneguts: “e, pi, 1, 0, i”) i a la vegada complexe en el seu sentit matemàtic, de tots els temps és la igualtat d’Euler:

A més, aprofitaré aquest post per utilitzar alguna de les coses que he après a l’hora d’escriure documents en durant alguns d’aquests dies de vacances. és un potent editor de textes, que normalment s’utilitza per escriure tesis o publicacions científiques d’alta qualitat, o per escriure fórmules.

A l’escola sempre diuen que l’arrel d’índex parell d’un nombre negatiu no existeix. Però el que realment volen dir és que no existeix en els nombres reals. Va home va, que hi ha nombres que no són reals? Sí! Els nombres complexos. La basede tot és:

Ara demostrarem (que vol dir: provar utilitzant el sistema formal i lògic de les matemàtiques) la igualtat d’Euler! Per entendre la demostració no faran falta coneixements gaire especials, excepte les igualtats que aniré marcant amb un nombre entre parèntesis.

Som-hi. Són conegudes les sèries infinites següents, que moltes vegades utilitzen els ordinadors o calculadores per calcular els sinus, o cosinus, sino, com li dius a una calculadora que faci aquestes operacions?:

(1) …

(2) …

(3) …

Repte 1: 100 mate-punts per qui comprovi el sinus o cosinus per algun dels següents angles (30º,45º,60º,90º) amb el desenvolupament almenys fins a 4 exponents. Va, que és fàcil amb una calculadora a mà.

Si apliquem la sèrie (1) de per a (només substituïm), queda:

…

…

… …

De manera que podem expressar:

(4)

Que és la fórmula de Moivre.

Ara si sabem que en radians representa 180º, podem substituir en la igualtat (4) i queda l’igualtat d’Euler:

Q.E.D.

Leonhard Euler

Informació extreta de Introduction to Geometry, de Coxeter. Autor d’algun bon llibre de geometria (que per cert m’haig de llegir a fons) per practicar per l’Olimpíada de Matemàtiques, un tipus de concurs sobre el qual algun dia parlaré detingudament.